New PDF release: Algebra [Lecture notes]

By Christoph Schweigert

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Example text

Sei G eine Gruppe. Eine Untergruppe H von G heißt charakteristisch von G genau dann, wenn ϕ(H) ⊂ H f¨ ur alle Automorphismen ϕ ∈ Aut G gilt. 2. ur alle g ∈ G. Um zu zeigen, dass 1. F¨ ur eine normale Untergruppe N ⊂ G gilt gN g −1 = N f¨ eine Untergruppe normal ist, reicht es aus zu zeigen, dass f u ¨r alle g ∈ G gilt gN g −1 ⊆ N . ur alle g ∈ G, also auch die umgekehrte Denn hieraus folgt N = g −1 gN g −1 g ⊂ g −1 N g f¨ Inklusion. 2. In einer kommutativen Gruppe ist jede Untergruppe ein Normalteiler, aber nicht jede Untergruppe ist charakteristisch.

71 ∼ 8 ∙ 1053 Elementen hat besonders interessante Eigenschaften. 1 Sei g ein Element einer Gruppe G. Die Ordnung ordg von g ist die kleinste echt positive nat¨ urliche Zahl n ≥ 1 mit g n = 1G . Gibt es kein solches n, so setzen wir ordg = ∞ und sagen, g habe unendliche Ordnung. Der Schnitt u ¨ber eine beliebige Familie von Untergruppen einer gegebenen Gruppe ist selbst wieder eine Untergruppe. 2 1. F¨ ur eine Teilmenge T einer Gruppe G definieren wir die von T erzeugte Untergruppe T ⊂ G als den Schnitt aller Untergruppen von G, die die Teilmenge T enthalten.

Pi ≥ pi+1 . . derart, dass fast alle Folgenglieder verschwinden und sich die Folgenglieder zu n aufaddieren. Die Menge aller Partitionen von n nennen wir Pn . • Jede Permutation σ ∈ Sn gibt eine Partition von n: die L¨angen der Bahnen der Operation der von σ zyklisch erzeugten Gruppe σ auf der n-elementigen Menge {1, . . , n}. • Die Teilmenge derjenigen Punkte, die σ nicht festl¨asst, heißen der Tr¨ager der Permutation. • Hat σ außer einer p–elementigen Bahn nur Fixpunkte, so nennt man σ einen p–Zykel.

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